УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА. В СПОКОЙНОЙ АТМОСФЕРЕ

Боковое движение самолета обычно рассматривают в связан­ной системе координат (рис. 1.20), которая повернута на угол а относительно полусвязанной системы координат и в которой были записаны уравнения движения самолета (1.1). При раздельном рас-

Рис. 1.20. Сила и моменты, действующие на самолет при боковом движении:
а — вид сверху; б — вид сзади

смотрении продольного и бокового движений принимают для боко­вого движения a = const, V=const, -&=const, o)z = 0. Учитывая эти и другие упрощения, вытекающие из того, что в качестве исходно­го режима принят установившийся полет, а также полагая углы a и р малыми, уравнения бокового движения можно привести к сле­дующему виду. Проекции сил на ось Oz:

mV$— mVa0 — m Уту — Z — j- О sin y[4] [5]. (1.33)

Уравнение моментов относительно оси Ox™:

о-39)

где /х — момент инерции относительно ОСИ Ох 1.

Уравнение моментов относительно оси Оух:

I, jV>y=My, (Г 40)

где! у — момент инерции относительно ОСИ Оуи

Уравнения для угловых скоростей: у = о)х; 4J = o)y. Кинематиче­ское уравнение, используемое для описания движения центра масс самолета: zg= Vsin(p—ф) =—ysin0r.

В соответствии с гипотезой стационарности аэродинамическая сила и моменты являются нелинейными функциями следующих па­раметров:

Z = Z(p, К, М, рн);

Мх = Мх(о9, 8Н, ш,., шу, р, V, М, рн);

Му=*Му(Ъэ, 8Н, (ог, шу, р, V, М, рн),

где 6Э — угол отклонения элеронов;

6Н — угол отклонения руля направления.

Mx = mxS*Yl / My = myS^l,

т — т Ц)а0Шх ~~ т VfPy— /Я=Л£»Д8, + М>Д8Н + мах**х + MpWy + Л; /Я=м * »А 8Э + М * нД8н + м>х + К’ +

где Cz — Cz (Р, М) —коэффициент боковой силы; I — размах крыла; тх~тх (бэ, бн, (Ох, <Оу, Р, М) — коэффициент момента Мх ту=ту (бэ, бн, (Ох, (оу, р, М) —коэффициент момента Mv.

При невозмущенном установившемся движении Ро= Po = Wa0 = = ©уо=Yo = О — Следовательно, Ар = р, Ар =р, Аи>х=(ох> Асоу= Ay=Y — Очевидно также, что ZQ=Mjc0 =1МУо = 0. Тогда, проведя линеаризацию уравнений (1.38—1.40), можно получить следующую систему линейных уравнений [30]:

(1-41) (1.42) (1.43)

pV"

где

ЖІН = РіЯ — = PZ°. I = ; 2 2 4

рК0/2

2 3261

 

Коэффициенты rz, mxvL, mx* и т. д. определяют по результатам продувок моделей самолета в аэродинамических трубах и летных испытаний самолетов.

Вводя обозначенияо)д.=«)д. ——— безразмерная угловая скорость

2Ко.

крена; ту = ту——— безразмерная угловая скорость рысканья:

2 Vo

рй =———— коэффициент относительной плотности самолета в бо.

ро S/

ксзом двилсении; гх— —безразмерный радиус инерции само-

_ 2г

лета относительно оси Охи rv= —- — безразмерный радиус инер-

цлп самолета относительно оси Оу, после ряда преобразований и группировки подобных членов система уравнений (1.41—1.43) бо­кового движения приводится к виду [12]:

Р. + ЗД — ф — ао7 — £її = 0;

+ 3„;

Ф + ‘Iі 4" ni Т + ЩР — ПБЭ3Э Ф WsH°H у z-=V{$ — y) = — Vbr,

12ти’х

2т’" У

-К" ‘ Рб* — Ил

1’1> = ФІГ ’

2т; и

Рб> ZZg. — _ Рб>

а — fir

v у

этой системы уравнений характеристический полином имеет вид.

А {р)~р{рі—а1рг—а2рі—агр—аі), (1-46)

ГДЄ

as—hni~^ih + (7; +/гф)^?~1"/гР + аЛ;

т >(1.47)

й3=Ат(/р 1^ Яр — /р (/^ П;^ (/р/їф Яр) ао»

«4 *(^Яф ~^«p)ftT.

Один корень характеристического полинома (1.46) равен нулю, что является следствием нейтральности неуправляемого самолета (с зажатыми органами управления) по углу курса. В тех случаях, когда в качестве неизвестной функции рассматривается не ф, а ф — характеристический, полином имеет четвертый порядок.

^і(р)=/,4+аіР[6] + й? РН«аР + а4- (1*48)

Значения коэффициентов аи Ог, йз, а4 определяются формула­ми (1.47).

Характеристический полином имеет два сильно разнящихся по величине вещественных корня и два комплексно сопряженных кор­ня. Большой вещественный корень рі«—ай малый вещественный

комплексно сопряженные корни

(«1 +-P + Pi)2

2 У PiP2 4

Этим корням соответствуют три взаимно накладывающихся движения.

Большому отрицательному вещественному корню соответствует быстрозатухающее креновое движение. Этот корень определяется в основном значением коэффициента момента тахх. Возникнове­ние этого, так называемого поперечного демпфирующего момента объясняется тем, что при вращении самолета относительно оси Ох і угол атаки на опускающемся полукрыле увеличивается, а на поднимающемся—соответственно уменьшается. Вследствие этого изменяются подъемные силы полукрыльев. Равенство сил нару­шается и образовавшийся момент, пропорциональный угловой ско­рости ©х и направленный ей навстречу, тормозит накренение са­молета.

Малому отрицательному корню соответствует медленно зату­хающее движение. Если этот корень положителен, что может быть при Й4<0, то движение является неустойчивым: оно характеризует­ся нарастанием углов у и р и угловых скоростей сож и Такая не­устойчивость носит название спиральной, поскольку самолет с зажатым управлением, обладающий таким видом неустойчивости, при возмущении движется по нисходящей спирали.

Рис. 1.21. Зависимость тх =
=f(cy) для прямого 1 и стре-
ловидного 2 крыльев

Паре комплексных корней соответствует колебательное дви­жение, при котором самолет кренится и рыскает из стороны в сто­рону. Условиями обеспечения устойчивости в соответствии с кри­терием Гурвица-Рауса являются выполнение неравенства а2(аа2— — а3) —а4аі2>0 и положительность коэффициентов аи а2, аз и а4. Полагая значение коэффициента а4 малым, предыдущее неравен­ство может быть приближенно заменено неравенством aia2 — a3>0,

На характеристики колебательного движения сильно влияют значения коэффициентов т9х, т?, тшхх, /п“у.

Коэффициенты тех и т| соответственно называются коэффици­ентом (степенью) поперечной статической устойчивости и коэффи­циентом (степенью) путевой статической устойчивости. Величины этих коэффициентов зависят от поперечного V и стреловидно­сти крыла и являются линейной функцией cg для стреловидного крыла (рис. 1.21, 1.22).

Коэффициент ггГу является вращательной производной подоб­но ранее рассмотренному коэффициенту

Для лучшего уяснения действия моментов, определяемых эти­ми коэффициентами, рассмотрим поведение неуправляемого само­лета при возникновении крена.

Допустим, самолет, первоначально летевший прямолинейно, накренится вправо. Будем полагать, что в этом положении уфО, <в* = 0. Сила тяжести, ранее уравновешивавшаяся подъемной силой, дает теперь составляющую по оси Oz, под действием кото­рой самолет скользит вправо. Вследствие скольжения появится мо-

Рис. 1.22. Зависимости

т1=}(су) и т I =f(cy) Д-Н
самолета Ту-124 в посадо4′
ной конфигурации

мент М? хВ, стремящийся выровнять самолет, накреняя его влево, и момент стремящийся развернуть самолет вправо.

Вращение самолета с угловой скоростью являющееся след­ствием действия момента Mffl, приводит к появлению демпфирую­щего момента Мшу(Оу тормозящего это вращение самолета, и мо­мента М“у<ву, стремящегося увеличить крен самолета.

Момент Мwv<og направлен навстречу моменту AfJ (5. Если момент поперечной статической устойчивости МРр больше момента Л4“у(оу, то самолет возвращается в горизонтальное положение, но при этом он летит в другом направлении. Если же момент от угловой скоро­сти рысканья М°^<оу больше момента от скольжения то крен самолета возрастает и самолет движется по нисходящей спирали. Это случай спиральной неустойчивости самолета.

В целом физическая картина бокового возмущенного движения самолета достаточно сложна. Аналитическое исследование этого движения без использования моделирующих устройств сопряжено с большим объемом вычислительных работ. Вместе с тем для реше­ния ряда практических задач представляется возможным ввести некоторые упрощения, связанные с рассмотрением частных случа­ев возмущенного движения, когда отсутствует скольжение (р = 0) или крен (у = 0).

Кроме того, для упрощения расчетов и моделирования в уравне­ниях (1.47) оказывается допустимым исключить некоторые второ­степенные члены: ao,lh/ ty, Ьнбв, п »ЭЬЭ. С учетом этих упрощений система уравнений бокового движения приобретает следующий вид:

(1.49)

При этом коэффициенты характеристических полиномов (1.46 и 1.48) также упрощаются:

аі—Ц

аі—Ц -f-(/j +/г, і)

az — k^ Ip —l^ tip — f-1- tl, j, kp — n■ Ip;

а4 = /рЯф kf.